波及再考

波及の確率を厳密に計算することにした。

こんな1発ネタのために仕事中の数時間を費やすなど正気を疑わざるを得ない。

それもこれも昨日の結果が妙に偏るからだ。

さあ行くぞ！



こういう似たような事を何度も繰り返す確率の計算をやるときは、
まず数値の小さいほうからいくつか実際に計算して傾向を掴み、
大きな数値に適用するのが定石。

ということで、昨日の結果の検算も兼ねていくつか計算した。

前提条件
　ライブラリーが48枚、内《執拗なネズミ/Relentless Rats(M10)》が16枚。
　《織端の石/Thrumming Stone(CSP)》をコントロールしている状況で
　《執拗なネズミ/Relentless Rats(M10)》を唱える。

問い
　スタックに載っている波及4を1回目としてn回目に波及の連鎖が終了する確率を求める。
　(最終結果の小数点以下第3桁を四捨五入)

まずは1回で終了する確率。
要は上4枚が《ネズミ》以外。

32/48 x 31/47 x 30/46 x 29/45
= 18.48%

これは簡単だ。
まだ電卓を叩く気になる。
1万回行うと1848回前後表れるということになって、
良い感じで昨日の結果に近い。

次に2回で終了する確率。
このようになるライブラリーの並びは、
1回目の波及の4枚の中に《ネズミ》1枚、
2回目の波及の4枚の中に《ネズミ》0枚。
以外に無いのでこうなる。

16/48 x 32/47 x 31/46 x 30/45 x 4C1
x 29/44 x 28/43 x 27/42 x 26/41
= 7.13%

1行目が1回目の波及、2行目が2回目の波及に対応している。
4C1は4。
組み合わせが4種類あることを示している。
1回目の波及の4枚のうち、
「1枚目だけに《ネズミ》がある」
「2枚目だけに《ネズミ》がある」
「3枚目だけに《ネズミ》がある」
「4枚目だけに《ネズミ》がある」
ことの確率はそれぞれ同じなのでどれか1つを求めて4倍すればいいという話。

1万回行うと713回前後。
これも良い一致。
ライブラリーの並びの表記が面倒になってきたので、
1回目の波及の4枚の中に《ネズミ》1枚、
2回目の波及の4枚の中に《ネズミ》0枚であることを
(1, 0)と書くことにしよう。
3回目までの波及について書くなら(1, 1, 0)とかになる。

次に3回で終了する確率。
このようになる並びは2つ。
(1, 1, 0)と(2, 0, 0)。
それぞれの確率は

(1, 1, 0)=
16/48 x 32/47 x 31/46 x 30/45 x 4C1
x 15/44 x 29/43 x 28/42 x 27/41 x 4C1
x 26/40 x 25/39 x 24/38 x 23/37
= 2.69%

(2, 0, 0)=
16/48 x 15/47 x 32/46 x 31/45 x 4C2
x 30/44 x 29/43 x 28/42 x 27/41
x 26/40 x 25/39 x 24/38 x 23/37
= 1.01%

合計して3.70%。

4C2は6。
1万回行うと370回前後。
良い一致をするのう。
これは期待。

4回で終了する確率はライブラリーの組み合わせの数が5つになり、
面倒なので止め。

並び1つに対応する確率を求める式を見てみると、傾向が見えてくる。

まず分母。
48から1ずつ小さくなる数が「4×波及回数」の数だけ現れる。

次に分子。
こっちは3つの要素に分かれる。
(a)16から1ずつ小さくなる数が「終了するまでの《ネズミ》の枚数」。
(b)32から1ずつ小さくなる数が「終了するまでの《ネズミ》以外の枚数」。
(c)組み合わせの数。n回目の波及の中の《ネズミ》の枚数に対して4Cn。

ということは、
・波及回数
・とある波及回数で終了となるライブラリーのうち、
　各波及の《ネズミ》の枚数の組み合わせのすべて。
が分かればいい。

ここからはコンピューターにやってもらって求めたのがこちら。
左が終了となる波及回数。右が発生確率(%)。

1　18.48
2　7.14
3　3.70
4　2.16
5　1.31
6　0.78
7　0.44
8　0.21
9　0.07
10　0.01
11　0
12　0
13　0
14　0
15　0
16　0

よって以上を合計した34.30%を差し引いた65.70%が、
すべての《執拗なネズミ》が波及する確率
となる。

ちなみに、波及11回以降は数値が小さすぎて、
コンピューターの表現できる限界を超えたらしい。

昨日の試行は正しい方法だったようだ。

これで安心して《ネズミ》を波及させられるな。

しかしこれだけ手間をかけた計算も、
前提となるライブラリーの枚数と、その中の《ネズミ》を枚数を変えるだけで
やり直しになるという。

まあ大体が分かればいいのよ、大体が。



以下愚痴。

上司「20日は仕事あるから。」

ちょ・・・ま・・・・。

まあ、午後からだし、エクテン持ってないし、だけどね。